1 dan 16 gacha bo‘lgan natural sonlar chizmadagi kvadratchalar ichiga takrorlanmaydigan qilib chapdan o‘ngga shunday joylashtirish kerakki, bunda har bir qo‘shni katakchalardagi 2 ta son yig‘indisi aniq kvadrat bo‘ladi. 2 soni allaqachon kvadratchalardan biriga joylashtirilgan bo‘lsa, 𝐴 ⋅ 𝐵 ko‘paytmaning qiymatini toping.

Avtobus kompaniyasida 27 va 36 o‘rinli avtobuslar mavjud. 505 kishidan iborat sayohat
guruhi ushbu kompinayadagi avtobuslarda sayohat qilishni xohlashadi. Barcha sayohatchilar
sayohatda ishtirok etadi va barcha avtobuslardagi jami bo‘sh o‘rindiqlari soni 𝑁 ga teng bo‘lsa, 𝑁
ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan eng kichik qiymatini toping.

Ali, Bobur, Nodir va Sohibjonda jami 100 ta yong‘oq bor. Bolalarning ixtiyoriy 2 tasida jami
eng kamida 41 ta yong‘oq bor bo‘lsa, Alida eng kamida nechta yong‘oq bo‘lishi mumkin?

𝐴𝐵𝐶 uchburchak ichida 𝑃 nuqta olingan. 𝐴𝑃, 𝐵𝑃 va 𝐶𝑃 to‘g‘ri chiziqlar 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 va 𝐴𝐵
tomonlarni mos ravishda 𝐷, 𝐸 𝑣𝑎 𝐹 nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar 𝑃𝐴 = 6, 𝑃𝐵 = 9, 𝑃𝐷 = 6, 𝑃𝐸 = 3
va 𝐶𝐹 = 20 ekanligi ma’lum bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐶 uchburchak yuzini toping.

𝑥 va 𝑦 haqiqiy sonlar uchun |𝑥| + 𝑥 + 𝑦 = 4 va 𝑥 + |𝑦| − 𝑦 = 9 shartlar o‘rinli bo‘lsa,
[𝑥 + 𝑦] ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan barcha qiymatlari yig‘indisini toping.(bu yerda,
[𝑥] − 𝑥 dan katta bo‘lmagan eng katta butun son)

𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarida mos ravishda 𝐷 va 𝐸 nuqtada olingan bo‘lib,
bunda 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷, 𝐴𝐷 = 𝐴𝐸 va 𝐷𝐸 = 𝐶𝐸 tengliklar o‘rinli bo‘ladi. ∠𝐴𝐷𝐸 − ∠𝐴𝐵𝐶 ifodaning
qiymatini toping.

𝑛 natural son uchun ushbu {1,2,3, … , 𝑛 − 1, 𝑛} to‘plamdan
ixtiyoriy 2 ta sonni tanlab olganimizda, ushbu sonlarning ketma-ket
chiqish ehtimolligi \(\frac{1}{{21}}\) ga teng bo‘lsa, 𝑛 ning qiymatini toping

𝐴𝐵𝐶 teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchakda 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 4. 𝑃 nuqta 𝐴𝐵𝐶 uchburchak
ichida tanlab olingan bo‘lib, bunda PA = 2. \(\frac{{PB}}{2} + PC\;\;\)yig‘indining eng kichik qiymatining kvadratini toping.

𝑎 va 𝑏 musbat haqiqiy sonlar uchun \(a + \frac{1}{b} = 7\) va \(b + \frac{1}{a} = 5\) tengliklar o‘rinli bo‘lsa, \({a^2}{b^2}\; + \frac{1}{{{a^2}{b^2}}}\) yig‘indini hisoblang.

Tekislikda 100 ta butun koordinatali nuqtalar berilgan. Biz ushbu 100 ta nuqtani har birini
kesmalar bilan tutashtirib chiqamiz. Ushbu kesmalarning qanchasining o‘rtasi butun koordinatali
bo‘lishi kafolatlanadi?

𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘g‘ri burchakli to‘rtburchak perimetri 208 𝑠𝑚ga teng va u chizmada ko‘rastilganidek 5 ta kvadratchalarga bo‘lib chiqilgan. Ushbu bo‘lingan kvadratchalardan eng kattasining yuzi bilan eng kichigining yuzining musbat farqini toping.

Quyidagi rasmda, to‘g‘ri to‘rtburchak uchta kichkina to‘g‘ri to‘rtburchaklarga bo‘lingan. Agar ikki
chetdagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar yuzalari va ikkita belgilangan uzunlik mavjud bo‘lsa, o‘rtadagi to‘g‘ri
to‘rtburchak yuzini toping.

Ofitser yo‘nalishi 3 ta aylanadan iborat (chizmada ko‘rsatilgan). U harakatlanishni 𝐴 nuqtadan boshlashi kerak va butun yo‘l bo‘ylab kesishgan nuqtalardan tashqari har qanday yo‘ldan ikki marta o‘tmasdan sayohat qilishi kerak. Agar uning yo‘nalishlari muhim bo‘lsa, qancha bunday mashrutlar mavjud?

Bir soatda minut mili tasodifan tushib ketdi. Agar ayni vaqtda soat
mili va soat 12 da bo‘lgan ko‘rsatkich orasidagi burchak 137° bo‘lsa, agar
soat to‘g‘ri ishlasa, shu paytda minut mili nechani ko‘rsatayotgan bo‘lardi?

\({\left( {{x^2}\; - \;4x\; + \;5} \right)^{{x^2} + x - 30}}\; = \;1\) tenglamaning haqiqiy ildizlari yig‘indisini toping.

𝑛 natural son uchun 𝑝(𝑛) ni 𝑛 sonining 0 bo‘lmagan raqamlari ko‘paytmasi bo‘lsin.
𝑝(1) + 𝑝(2) + ⋯ + 𝑝(999) yig‘indining eng katta tub bo‘luvchisini toping.

Bir piyola qora choy tarkibidagi kafein moddasi odamni 1 soat tetik ushlay oladi. Bir piyola
kofe tarkibidagi kafein esa odamni 4 soat tetik ushlay oladi. Mos ravishda qanday nisbatda qora choy
va kofeni aralashtirsak, hosil bo‘lgan aralashmadagi kafein miqdori odamni aynan 2 soat tetik ushlay
oladi?

Olim Doniyorga natural songa oid boshqotirma berdi. U shunday dedi: “Men uch xonali son
o‘ylayapman va u 11 ga bo‘linadi. Shuningdek, ushbu sonning yuzlar xonasidagi raqami 𝑋 va o‘nlar
xonasidagi raqami 3 ga teng. Ushbu yagona sonni top”. Doniyor darhol Olimjon uni aldayotganini
angladi va unaqa son yo‘q ekanligini aytdi. Olimjon tanlagan sondagi 𝑋 nechaga teng edi?

\({a_{n + 1}} = \sqrt {1 + a_n^2} \;\)musbat haqiqiy sonlar ketma-ketligi berilgan bo‘lib, bunda 𝑎1 = √10.
𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎₂₀₂₄ sonlari orasida nechta butun son mavjud?

𝐴𝐵𝐶 uchburchak yuzasi 1 ga teng. 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 va 𝐴𝐵 tomonlar
davomida mos ravishda 𝐷, 𝐸 va 𝐹 nuqtalar olingan bo‘lib, bunda 𝐵𝐷 = 2 ⋅ 𝐵𝐶, 𝐶𝐸 = 3 ⋅ 𝐶𝐴 va 𝐴𝐹 = 4 ⋅ 𝐴𝐵 shartlar o‘rinli. 𝐷𝐸𝐹 uchburchak yuzini toping.

Doskada \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\; \ldots \;,\frac{1}{{100}}\) sonlari yozilgan. Har bir qadamda, biz ixtiyoriy 2 ta 𝑎 va 𝑏 sonlarni tanlab olamiz va ularni o‘chirib, o‘rniga \(\frac{{ab}}{{a + 2ab + b}}\) sonini yozamiz. Tabiiyki, har bir qadamda sonlar soni 1 taga kamayadi. Bu jarayon doskada 1 ta son qolguncha davom etdi. Doskada qolgan sonning qiymatini toping. (Javobni a/b ko'rinishida yozing)

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2015 shartni qanoatlantiradigan 𝑎, 𝑏 va 𝑐 turli natural sonlarning umumiy
bo‘luvchisining qabul qilishi mumkin bo‘lgan eng katta qiymatini toping.

𝐴𝐵𝐶 uchburchak ichida 𝑃 nuqta olingan va 𝐴𝑃, 𝐵𝑃 va 𝐶𝑃 to‘g‘ri chiziqlar 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 va 𝐴𝐵
tomonlarni mos ravishda 𝐴′, 𝐵′va 𝐶′ nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar 𝐴′𝑃 = 𝐵′𝑃 = 𝐶′𝑃 = 3 va
𝐴𝑃 + 𝐵𝑃 + 𝐶𝑃 = 25 bo‘lsa, 𝐴𝑃 ⋅ 𝐵𝑃 ⋅ 𝐶𝑃 ko‘paytmaning qiymatini toping.

Tor chaluvchilar ansamblida barcha odam yoki skripka chalishni, yoki violenchen chalishni
biladi va barcha ansambl a’zolarining \(\frac{1}{4}\) qismi ikkala turdagi asbobni ham chala oladi. Bundan
tashqari jami skripka chalishni biladigan a’zolar 24 tani, violenchen chalishni biladigan jami a’zolar
soni esa 41 tani tashkil etadi. Ushbu ansamblda jami nechta odam faqat skripka chalishni biladi?

⋆belgisi ushbu 𝑎 ⋆ 𝑏 = 𝑎² − 𝑎 ⋅ 𝑏 + 3 operatsiyani bajaradi. Misol uchun,
2 ⋆ 1 = 2² − 2 ⋅ 1 + 3 = 5 . Agar 𝑥 va 𝑦 haqiqiy sonlar uchun 𝑥𝑦 < 0 , (−4) ⋆ 𝑥 = 11 va 𝑦 ⋆ (−5) = 53 shartlar bajarilsa, 𝑥 − 𝑦 ni toping.

Aylanada 14 ta 𝐴₁, 𝐴₂, … , 𝐴₁₄ nuqtalar soat yo‘nalishiga qarama-qarshi tartibda olingan
bo‘lib, ushbu nuqtalardan hosil bo‘lgan hech qaysi 3 ta vatar aylana ichida kesishmaydi. Olimjon
ushbu nuqtalardan hosil bo‘lgan barcha barcha kesmalarni chizmoqchi bo‘ldi, ammo bu chizma
judayam betartib bo‘lib ketdi, keyin u 𝐴₁𝐴₃𝐴₅𝐴₇𝐴₉𝐴₁₁𝐴₁₃ va 𝐴₂𝐴₄𝐴₆𝐴₈𝐴₁₀𝐴₁₂𝐴₁₄
yettiburchaklarning barcha diagonallari va tomonlarini o‘chirishga qaror qildi. Chizmadagi qolgan kesmalar aylanani jami nechta bo‘lakka bo‘ladi?

To‘g‘ri burchakli uchburchakning bitta o‘tkir burchagi 43° ga teng. Shu
to‘g‘ri burchakli uchburchakning to‘g‘ri burchagidan chiqqan balandlik va mediana orasidagi
burchakni toping.

Ixtiyoriy 𝑥 haqiqiy son va ixtiyoriy 𝑛 natural son uchun
𝑥 ⋆ 𝑛 = (2 − 𝑥)^𝑛 + 𝑥³ − 6𝑥² + 12𝑥 − 5 tenglik o‘rinli. Quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladigan barcha 𝑎 haqiqiy sonlar yig‘indisini toping.
(… (𝑎 ⋆ 2024) ⋆ 2023) ⋆ … ⋆ 2) ⋆ 1 = 𝑎

𝑎, 𝑏, 𝑐 natural sonlar uchun 3𝑎𝑏𝑐 = 2𝑎 + 5𝑏 + 7𝑐 tenglik bajariladigan barcha (𝑎, 𝑏, 𝑐)
uchliklar sonini toping.

Agar sonning barcha tub bo‘luvchilari to‘plami faqat 2,3 yoki 7 sonlaridan iborat bo‘lsa, biz
bu sonni 𝑐ℎ𝑖𝑟𝑜𝑦𝑙𝑖 deb ataymiz. 1000,1001, … ,2024 sonlari orasida nechta 𝑐ℎ𝑖𝑟𝑜𝑦𝑙𝑖 son bor?

3. 11 ⋅ 19 ⋅ 𝑛 ko‘paytma uchta ketma-ket natural sonning ko‘paytmasiga teng bo‘ladigan eng
kichik 𝑛 natural sonni toping

Jasurbek Hayit bayrami uchun do‘kondan bir qancha shirinlik sotib oldi. Uning yoniga
birinchi jiyani kelishidan oldin u shirinliklarning yarmini yeb qo‘ydi va keyin jiyaniga nechtadir shirinlik hadya qildi. Uning yoniga ikkinchi jiyani kelishidan oldin u qolgan shirinliklarning yarmini
yeb qo‘ydi va keyin ushbu jiyaniga ham nechtadir shirinlik hadya qildi. Oxirida esa, Jasurbekning
yoniga uchinchi jiyani kelishidan oldin u qolgan shirinliklarning yarmini yeb qo‘ydi va keyin
uchinchi jiyaniga jami o‘zida bor bo‘lgan barcha shirinliklarni hadya qildi. Agar Jasurbek uchala
jiyaniga ham 3 tadan shirinlik bergan bo‘lsa, Jasurbek do‘kondan jami necha dona shirinlik sotib
olgan?

Basketbol o‘yinida Ali, Bahrom, Dilshod va Nodir mos ravishda savatchaga bir xil joydan
26, 27, 28 va 29 marta to‘pni uloqtirishdi. Agar ularning mos ravishda 21, 22, 23 va 24 ta uloqtirgan
to‘plari savatchaga tushgan bo‘lsa, Ulardan qaysi biri yaxshiroq natija qayd etgan?

Tom va Jerry o‘yin o‘ynayapdi. Har bir roundda ular qo‘llaridagi kartani ko‘rsatishadi. Agar kimni qo‘lidagi kartasidagi son kattaroq bo‘lsa, o‘sha yutadi va unga 1 ochko beriladi. Tom va Jerryning qo‘lidagi kartalardagi sonlar chizmada ko‘rsatilgan. Agar har bir karta faqat bir marta foydalanilsa, hisob necha xil tugashi mumkin?

Sevara qo‘lida beshta bir xil ipni ushlab turadi, shunda har bir ipning qo‘lining har ikki
tomonida bir uchi bo‘ladi. U Ozodadan har ikki tomonning faqat bitta uchi qolmaguncha tasodifiy
juft uchlarini bog‘lashni so‘raydi. Ko‘pi bilan ikkita iplarning uchlarini bir-biriga bog‘lash mumkin.
Iplar bitta uzun ipda bog‘langan holda turishi ehtimolligi qancha? (Javobni a/b ko'rinishida yozing)

\(\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right)\) ayirmaning qiymatini

toping.