Agar 𝑎, 𝑏 natural sonlar uchun 90 < 𝑎 + 𝑏 < 99 va 0.9 < \(\frac{a}{b}\) < 0.91 bo`lsa, 𝑎𝑏 ning
qiymatini toping.

Agar \(a\;*\;b\; = \;1\; + \frac{b}{a}\) shart bajarilsa, hisoblang.
\(\left( {\left( {\left( {\left( {\left( {\left( {\left( {1\;*\;1} \right)\;*\;1} \right)\;*\;1} \right)\;*\;1} \right)\;*\;1} \right)\;*\;1} \right)\;*\;1} \right)\) .

Sinfda 15 nafar o`quvchi bor . Har kuni ular 3 kishidan iborat guruh tashkil qilib navbatchilik
qilishadi. Bunda ixtiyoriy ikkita guruh uchun 2 ta umumiy o`quvchi yo`q. Navbatchilik eng ko`pi
bilan necha kun davom etishi mumkin?

Agar \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 7x + 12}}\) bo`lsa \(f\left( 1 \right)\; + \;f\left( 2 \right)\; + \; \cdots \; + \;f\left( {2024} \right)\;\)yig`inding qiymatini toping.

|𝑥| + |𝑦| + |𝑧| \( \le \) 2 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha butun (𝑥, 𝑦, 𝑧) larning sonini
toping. (bunda (𝑎, 𝑏, 𝑐) va (𝑏, 𝑎, 𝑐) har xil yechimlar hisoblanadi).

Har bir ichki burchagi 175° bo`lgan qavariq ko`pburchak tomonlari sonini toping.

15, 21, 24, 30, 33, … ketma-ketlikning keyingi hadini toping.

{1,3,5,7,9} raqamlaridan nechta natural son hosil qilish mumkin? (Bitta sonda har bir raqam
ko`pi bilan bir marta qatnashadi)

Agar 𝑘 natural son uchun, hech qanday 𝑛 da 𝑛! soni 𝑘 ta nol bilan tugamasa, biz uni yaxshi
deb ataymiz. 24! soni 4 ta 0 bilan tugaydi, 25! soni esa 6 ta 0 bilan tugaydi. Shuning uchun 𝑛! soni
5 ta 0 bilan tugaydigan hech qanday natural 𝑛 soni mavjud emas. Demak eng kichik yaxshi son
5 soni ekan. Tohir dastlabki 2024 ta yaxshi sonni o`sish tartibida joylashtirildi. Tohir hosil qilgan
yuzinchi sonni toping.

Agar 𝑎² + 𝑏² + 𝑐² = 989 va (𝑎 + 𝑏)² + (𝑏 + 𝑐)² + (𝑎 + 𝑐)² = 2024 bo`lsa, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 yig`indi quyidagilardan qaysi biriga teng bo’lishi mumkin?

𝐴𝐵𝐶 uchburchak ichida 𝐷 nuqta shunday tanlanganki, bunda 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶, ∠𝐷𝐶𝐴 = 24°,
∠𝐷𝐴𝐶 = 31° va ∠𝐴𝐵𝐶 = 55° bo`lsa, ∠𝐷𝐴𝐵 ni toping.

Qonuniyatni aniqlang va hisoblang. ≪ 25 ≫= 94, ≪ 13 ≫= 61,
≪ 32 ≫= 52, ≪ 18 ≫=?

Berilgan shaklda ikkita kvadrat ichma-ich joylashgan va bu
kvadratlarning tomonlari butun sonlar. Agar bo`yalgan soha 52 bo`lsa, katta
kvadratning yuzini toping.

Agar 𝑆(𝑛) deb 𝑛 sonining raqamlari yig`indisini bilgilaymiz. 𝑛 + 𝑆(𝑛) + 𝑆(𝑆(𝑛)) = 2025
tenglikni qanoatlantiruvchi nechta natural son mavjud?

𝑥𝑦𝑧 = 10⁶ shartni qanoatlantiruvchi natural (𝑥, 𝑦, 𝑧) uchliklarni necha xil usulda tanlash
mumkin?( (𝑥, 𝑦, 𝑧) va (𝑥, 𝑧, 𝑦) har xil hisoblanadi)

(𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧)⁷ ifodada qavslarni ochib o`xshash hadlar ixchamlanganidan keyin hosil
bo`lgan ifodada 𝑥³𝑦²𝑧² hadining oldidagi koeffitsiyentini toping.

𝑛 ≥ 1 butun son. Agar 10^𝑛 sonini ixtiyoriy ravishda 2 ta natural sonning ko`paytmasi
shaklida yozganda ham kamida bittasida nol raqami ishtirok etadigan eng kichik 𝑛 ni toping.

Ikkita natural son berilgan. Ularning biri to`la kvadrat son. Agar ularning ko`paytmasi
ularning yig`indisidan 2006 ga katta bo`lsa, bu sonlarning farqini toping.

{1,2, … 50} to`plamda nechta shunday natural son mavjud, bunda bu son 4 ga bo`linadi lekin
6 ga bo`linmaydi?

𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadratning tomoni 6 ga teng. X, Y, Z teng aylanalar, X – AB va AD tomonga,
Y – AB va BC tomonga urinadi. Z esa CD tomonga hamda X va Y aylanalarga urinadi. X aylananing radiusini \(m\; - \;\sqrt n \) ko’rinishida yozsak(m, n – natural sonlar), m+n ning qiymatini toping.

Berilgan chizmada 𝐴 nuqtadan 𝐷 nuqtaga faqat tepaga va o`ngga yurish orqali
necha xil usulda borish mumkin. Bunda, 𝐵 va 𝐶 dan o`tish majburiy.

{1,2,3,…,9} sonlaridan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑 < 𝑒 shartni qanoatlantiradigan qilib necha xil usulda
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 va 𝑒 sonlarini tanlash mumkin?

Qonuniyatni aniqlang va hisoblang.
≪ 23 ≫= 29
≪ 43 ≫= 55
≪ 67 ≫= 109
≪ 45 ≫=?

1 va 100 oralig`ida ikkita to`la kvadratlar ayirmasi ko`rinishda yozish mumkin bo`lgan nechta
natural son mavjud?

𝐴𝐵𝐶𝐷 qavariq to`rtburchakda, ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 90° va 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷. 𝐸 nuqta 𝐴𝐶 va 𝐵𝐷
diagonallar kesishgan nuqta bo`lsin. Agar ∠𝐴𝐸𝐷 = 112° bo`lsa, ∠𝐴𝐵𝐷 ni toping.

Berilgan chizmada 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 muntazam beshburchak, 𝐴𝐸𝐹 muntazam
uchburchak va 𝐴𝐵𝐻𝐺 kvadrat bo`lsa, ∠𝐴𝐹𝐺 ni toping.

Agar S=\(5 + 55 + 555 + 555…5\)(100 ta ) bo`lsa, 𝑆 sonining 9 ga bo`lgandagi qoldiqni toping.

𝑛! (𝑛 + 1)! (2𝑛 + 1)! − 1 ifoda 30 ta 9 bilan tugaydigan eng kichik natural 𝑛 sonini toping.

∆ABC da D ∈ AB, F ∈ AC va uchburchak ichida E nuqta shunday olinganki, DE ll AC va EF
ll AB. Agar AF = 6, AC = 33, AD = 7, AB = 26 va ADEF to’rtburchakning yuzi 14 bo’lsa, ∆ABC
ning yuzini toping.

Agar \(\overline {a679b} \) soni 72 ga bo`linsa, 𝑎 + 𝑏 qiymatini toping

∆𝐴𝐵𝐶 ning \(\overline {AB} \) tomonida 𝑋 va 𝑌 nuqtalar shunday olinganki, bunda 𝐴𝑋 = 20, 𝐴𝑌 = 28 va 𝐴𝐵 = 42. Agar 𝑋𝐶 = 26 va 𝑌𝐶 = 30 bo`lsa, 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 yig`indining qiymatini toping.

𝐴={1,2,3,…,100} shu to`plamning qism to`plami bo`lgan va elementlari soni ko`pi bilan
90 ta bo`lgan barcha to`plamlar qaraldi. Elbek har bir to`plamdagi elementlar yig`indisini hisoblab,
doskaga yozib chiqdi. Doskada nechta turli son hosil bo`ladi?

Agar \(x = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1\) bo`lsa, \({\left( {1\; + \frac{1}{x}} \right)^{2025}}\) ifodaning qiymatini toping.

CD - AB kesmaning o’rtasi perpendikulyari, bunda 𝐶 nuqta 𝐴𝐵 kesmaning o’rtasi. AB = 72,
va CD = 60. R – shunday P nuqtalar to’plamiki: P – XY kemaning o’rtasi, X ∈ AB kesma va Y ∈ CD kesma. R ning yuzasini toping.